Rotacional
Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la
tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se
define como la circulación del vector sobre un camino cerrado del borde de un
área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero (Ecuación 1).
Aquí, /\s es
el área de la superficie apoyada en la curva C , que se reduce
a un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un
vector), sino solo su componente según la dirección normal a /\s
y orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el
rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas
situadas en planos perpendiculares.
El rotacional de un campo se puede
calcular siempre y cuando este sea continuo y diferenciable en todos sus
puntos.
El resultado del rotacional es otro
campo vectorial que viene dado por el determinante de la siguiente ecuación:
Las propiedades más destacadas del rotacional
de un campo son:
• Si el campo escalar f(x,y,z)
tiene derivadas parciales continuas de segundo orden entonces el rot (\/f) =0
• Si F(x,y,z)
es un campo vectorial conservativo entonces rot (F) = 0
• Si el campo vectorial F(x,y,z)
es una función definida sobre todo R^3 cuyas
componentes tienen derivadas parciales continuas y el rot (F) = 0, entonces F es
un campo vectorial conservativo.
Divergencia
La divergencia de un campo vectorial
mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una
superficie que encierra un elemento de volumen dV . Si el volumen elegido
solamente contiene fuentes o sumideros de un campo, entonces su divergencia es
siempre distinta de cero.
La divergencia de un campo vectorial
en un punto es un campo escalar, que se define como el flujo del campo
vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende
a cero, para el caso del campo magnético la divergencia viene dada por la ecuación
donde S es una superficie cerrada que
se reduce a un punto en el límite, B es el campo magnético, V es el volumen que
encierra dicha superficie S y \/ es
el operador nabla, que se calcula de la siguiente forma:
La divergencia de un campo es un
valor escalar con signo. Si este signo es positivo, quiere decir que el campo
emana hacia el exterior de dicho punto y, por tanto, es una fuente o manantial.
Si el signo es negativo, el campo converge hacia un punto del interior del
volumen, por lo que constituiría un sumidero. Si la divergencia fuese cero el
campo neto (diferencia entre las líneas entrantes y salientes) sería nulo.
En el caso de los campos magnéticos se ha
comprobado la ausencia de fuentes y/o sumideros de ahí que una de sus
propiedades sea que su divergencia es nula (ecuación 5).
Los campos cuya divergencia es cero
se denominan campos solenoidales, que se caracterizan porque sus líneas de
campo son cerradas sobre si mismas, es decir, no tienen extremos donde nacen o
mueren. De tener dichos extremos, el flujo neto alrededor de uno de ellos no
sería nulo, lo cual denotaría la existencia de una fuente o sumidero del campo.
Referencia :http://quintans.webs.uvigo.es/recursos/Web_electromagnetismo/magnetismo_rotacionalydivergencia.htm
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