Clases de Curvatura

Curvatura De Flexión  

Dada la curva de ecuación y = f (x)  y  x = a un punto del dominio de f(x)  donde la misma admita

derivada 1ra finita y 2da no nula, se define curvatura C de f(x) en x = a, a  la variación de ángulo dz

girado por la recta tg a f (x) en x = a  debida a la variación infinitesimal de arco ds, o sea:

Entonces se puede tomar a dy como una buena aproximación de /\y ya que la diferencia entre ambos

r es un infinitésimo de orden superior a los dos. O sea /\y /\dy. O simplemente pensar que en un

entorno de x = a, el elemento de curva ds puede ser reemplazado por un tramo infinitesimal de recta

tg a f en a.

Reemplazando todo en (1) 

Y llamamos a R = radio de curvatura de f  en a.

Si y´´ (a) = 0 (en la ecuación de la recta, por ejemplo, y = m x + b ),  la curvatura C = 0, y el radio de

curvatura es infinitamente grande. Cuando en una curva y´´(a) = 0 significa que en ese punto la curva

tiene curvatura nula y radio de curvatura infinito, y se dice que presenta en ese punto un elemento

infinitesimal de recta (elemento de geodésica), pudiendo corresponder a un punto de inflexión, donde

la curva no es ni cóncava (la curva queda por arriba de la recta tg en el punto), ni convexa (la curva

queda por debajo de la recta tg en el punto). La curva es atravesada por la recta tg en el punto.

Cuando la curvatura C de una curva en un punto es muy grande, su radio de curvatura R es pequeño.

Ésta curvatura así definida se llama curvatura de flexión.

CURVATURA DE TORSIÓN

Cuando una curva no es plana se dice que es gausa, alabeada o de doble curvatura, porque tiene

curvatura de flexión (la definida anteriormente, o sea la variación de la tg a la curva) y curvatura de

torsión.

La curvatura de torsión de una curva en un punto es la razón de cambio del vector binormal respecto

del vector tg.

Cuando una curva posee curvatura de torsión (además de la de flexión ) no nula es alabeada. En una

curva plana la torsión es nula ya que el vector binormal es continuamente perpendicular al plano que

contiene a la curva (plano osculador único para todos los puntos de la curva).Y en una curva

alabeada, al ir cambiando el plano osculador  (que contiene al círculo osculador), va cambiando,

punto a punto, también la recta binormal.

Referencia : campus.fi.uba.ar/mod/resource/view.php?id=23490